Федор Герасимович Коньков родился 21 марта в д. Лукинка Судогодского уезда Владимирской губернии, работал в колхозе. В 1940 году окончил в городе Коврове школу фабрично-заводского ученичества, работал на заводе № 2 имени К.О. Киркижа (завод имени В.А. Дегтярева) слесарем. В ноябре 1941 года был призван в действующую армию, на фронте находился с февраля 1942 года.

Воевать Ф.Г. Конькову довелось на разных фронтах, начинал пулеметчиком, затем стал наводчиком противотанкового орудия. 

5-6 октября 1944 года сержант Ф.Г. Коньков отличился в боях за удержание плацдарма на левом берегу реки Нарев у населенного пункта Тшепово близ города Сероцк в Польше. Он уничтожил 3 танка и 6 пулеметных расчетов гитлеровцев.

После этого героического боя политическим отделом 65-й армии была выпущена листовка. На ней снимок - у орудия готовый к бою воин. И слова: «Беспримерный подвиг кавалера ордена Славы 3-й степени сержанта Конькова», «Учитесь у него искусству побеждать врага», «Славься вечной славой боевых знамен русская артиллерия нынешних времен. Бей врага на славу!», «Победа любит смелых, отважных и умелых. Отважному воину - любимцу народа - слава!», «Сержант Коньков - гордость народа-героя. Сержант Коньков мастер победного боя!», «Русский воин умножил свою солдатскую славу, славу своего полка», «Бей немцев, как сержант Коньков!».

В своей книге воспоминаний «В походах и боях» командующий 65-й армией генерал П.И. Батов так написал о подвиге героя:

 «Снова гитлеровцы идут в атаку. Под сильным огнем место выбывших из строя занимают боевые товарищи. У некоторых пушек осталось два-три бойца. Ранен командир взвода лейтенант Беззубое. Прямым попаданием разбито орудие старшего сержанта Кочетова, а сам он сражен осколком. Оставшиеся в живых рядовые Аммухамедов и Кучмеев отошли к соседнему орудию старшего сержанта Конькова...

Коньков в ту пору остался один, сам заряжает, сам берет врага на прицел. Аммухамедов и Кучмеев заменили ему погибших товарищей. Теперь их трое. Восемь танков и до батальона пехоты движутся на их позицию. С третьего выстрела Конькова загорелся головной танк «Тигр». Огонь перенесен на второй танк, и вот он тоже подбит. Остальные вражеские машины повернули обратно, а наш замечательный артиллерист, не теряя времени, бьет уже по пехоте. ...Сутки спустя Коньков снова со своим орудием вступил в единоборство с немецкими танкистами и вновь вышел победителем».

Звание Героя Советского Союза Ф.Г. Конькову было присвоено Указом Президиума Верховного Совета СССР 21 февраля 1945 года именно за бой на берегу р. Нарев.

Кроме этого Ф.Г. Коньков за годы войны награжден орденами Отечественной войны 1-й степени, Славы 2-й и 3-й степеней, двумя медалями «За отвагу» и еще восемью медалями за взятие и освобождение различных городов.

Федор Герасимович за годы войны был четырежды ранен и в марте 1945 года после очередного тяжелого ранения уволился в запас. В послевоенный период Ф.Г. Коньков жил в Коврове, работал на заводе имени В.А. Дегтярева (в 1950-1952 годах - на Ковровском механическом заводе) слесарем, контролером ОТК. Умер 23 июля 1987 года. Похоронен в городе Коврове на Аллее Славы на Троицко-Никольском кладбище.

С 2000 года стела его памяти находится на Аллее Героев на площади Победы в городе Коврове. Именем Героя в городе названы улица и средняя общеобразовательная школа № 8. На доме № 18 по улице Фурманова, где последнее время жил Федор Герасимович Коньков, установлена мемориальная доска.